Финансовый менеджмент: Учебник
Глава 4. Основы финансовой математики
4.3. Оценка аннуитетов
Одно из ключевых понятий в финансовых и коммерческих расчетах – понятие аннуитета. Логика, заложенная в схему аннуитетных платежей, широко используется при оценке долговых и долевых ценных бумаг, в анализе инвестиционных проектов, а также в анализе аренды.
Аннуитет представляет собой частный случай денежного потока. Это поток, в котором денежные поступления в каждом периоде одинаковы по величине. если число равных временных интервалов ограничено, аннуитет называется срочным. В этом случае:
С1 = С2 = … = Сn = A
Для оценки будущей и приведенной стоимости аннуитета можно пользоваться вышеприведенными формулами, вместе с тем благодаря специфике аннуитетов в отношении равенства денежных поступлений эти формулы могут быть существенно упрощены. В частности, для решения прямой задачи оценки срочных аннуитетов постнумерандо и пренумерандо при заданных величинах регулярного поступления (А) и процентной ставке (г) можно воспользоваться формулами (4.20) и (4.21):
(4.20)
(4.21)
где
(4.22)
Экономический смысл FM3(r,n), называемого мультиплицирующим множителем для аннуитета, заключается в следующем: он показывает, чему равна с точки зрения текущего момента величина срочного аннуитета в одну денежную единицу (например, один рубль) к концу срока его действия. Предполагается, что денежные суммы лишь начисляются, а изъять их можно по окончании срока действия аннуитета. Множитель FM3(r,n) часто используют в финансовых вычислениях. Поскольку легко заметить, что его значения в общем виде зависят лишь от r и n, они также затабулированы. (Таблица 4.3).
Таблица 4.3. Мультиплицирующий множитель FM3 (r,n)
| n/r | 1% | 2% | 3% | 4% | 5% | 6% | 7% | 8% | 9% | 10% |
| 1 | 1.000 | 1.000 | 1.000 | 1.000 | 1.000 | 1.000 | 1.000 | 1.000 | 1.000 | 1.000 |
| 2 | 2.010 | 2.020 | 2.030 | 2.040 | 2.050 | 2.060 | 2.070 | 2.080 | 2.090 | 2.100 |
| 3 | 3.030 | 3.060 | 3.091 | 3.122 | 3.152 | 3.184 | 3.215 | 3.246 | 3.278 | 3.310 |
| 4 | 4.060 | 4.122 | 4.184 | 4.246 | 4.310 | 4.375 | 4.440 | 4.506 | 4.573 | 4.641 |
| 5 | 5.101 | 5.204 | 5.309 | 5.416 | 5.526 | 5.637 | 5.751 | 5.867 | 5.985 | 6.105 |
| 6 | 6.152 | 6.308 | 6.468 | 6.633 | 6.802 | 6.975 | 7.153 | 7.336 | 7.523 | 7.716 |
Для решения обратной задачи оценки срочных аннуитетов постнумерандо и пренумерандо, являющейся основной при анализе инвестиционных проектов, денежные притоки которых имеют вид аннуитетных поступлений, можно воспользоваться формулами (4.23) и (4.24):
(4.23)
(4.24)
где
(4.25)
Экономический смысл FM4(r,n). FM4(r,n) называется дисконтирующим множителем для аннуитета. Экономический смысл заключается в следующем: он показывает, чему равна с точки зрения текущего момента величина аннуитета с регулярными денежными поступлениями в размере одной денежной единицы (например, один рубль), продолжающегося n равных периодов с заданной процентной ставкой г. Значения этого множителя также табулированы. (Таблица 4.4).
Таблица 4.4. Дисконтирующий множитель FM4 (r,n)
| n/r | 1% | 2% | 3% | 4% | 5% | 6% | 7% | 8% | 9% | 10% |
| 1 | .990 | .980 | .971 | .962 | .952 | .943 | .935 | .926 | .917 | .909 |
| 2 | 1.970 | 1.942 | 1.913 | 1.886 | 1.859 | 1.833 | 1.808 | 1.783 | 1.759 | 1.736 |
| 3 | 2.941 | 2.884 | 2.829 | 2.775 | 2.723 | 2.673 | 2.624 | 2.577 | 2.531 | 2.487 |
| 4 | 3.902 | 3.808 | 3.717 | 3.630 | 3.546 | 3/465 | 3.387 | 3.312 | 3.240 | 3.170 |
| 5 | 4.853 | 4.713 | 4.580 | 4.452 | 4.329 | 4.212 | 4.100 | 3.993 | 3.890 | 3.791 |
| 6 | 5.795 | 5.601 | 5.417 | 5.242 | 5.076 | 4.917 | 4.767 | 4.623 | 4.486 | 4.355 |
При выполнении некоторых расчетов применяют технику оценки бессрочного аннуитета. Аннуитет называется бессрочным, если денежные поступления продолжаются достаточно длительное время (в западной практике к бессрочным относятся аннуитеты, рассчитанные на 50 и более лет).
В этом случае прямая задача смысла не имеет. Что касается обратной задачи, то ее решение делается на основе формулы:
(4.26)
Эта формула служит для оценки целесообразности приобретения бессрочного аннуитета. В данном случае известен размер годовых поступлений (А); в качестве коэффициента дисконтирования r обычно принимают гарантированную процентную ставку (например, процент, предлагаемый государственным банком).
Пример. Вам предлагается сдать в аренду участок на три года, выбрав один из двух вариантов оплаты аренды: а) 10 тыс. руб в конце каждого года; б) 35 тыс. руб. в конце трехлетнего периода. Какой вариант более предпочтителен, если банк предлагает 8% годовых?
Решение. Используем формулу (4.20) (расчеты производятся в конце периода – постнумерандо) и соответствующее значение множителя из таблицы 4.3, которое равно 3.246. Тогда накопленная сумма к концу третьего года (в случае ежегодных выплат) будет составлять: 10 х 3.246 = 32.46. Это соответственно меньше, чем 35 тыс.руб. в конце трехлетнего периода. Следовательно, нужно остановиться на втором варианте.
Пример. Для данных предыдущего примера нужно произвести оценку будущих поступлений с позиции текущего момента.
Решение. Общая формула для оценки текущей стоимости срочного аннуитета используется формула (4.23). В данном примере нужно рассчитать PV pst a, а коэффициент берется из таблицы 4.4. равный 2.577.
PV pst a (8%, 3)= 10 х 2.577 = 25.77 тыс.руб.
Но текущая стоимость выплат 35 тыс.руб. в конце трехлетнего периода составит 27.79 тыс. руб. То есть, и в этом случае более предпочтительным является второй вариант – выплата в конце трехлетнего периода.
Пример. Определить текущую стоимость бессрочного аннуитета с ежегодным поступлением 420 тыс. руб., если предлагаемый государственным банком процент по срочным вкладам равен 10% годовых.
Решение. По формуле (4.22) имеем: PV = 420 : 0.10 = 4.2 млн.руб.
Таким образом, если аннуитет предлагается по цене, не превышающей 4.2 млн руб., он представляет собой выгодную инвестицию.
